Théorème

Théorème fondamental sur les fonctions continues :
Soit \(f\) une fonction telle que \(f:[a,b]\to\Bbb R\) continue (\(-\infty\lt a\lt b\lt +\infty\))
Alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes
Autrement dit, \(\exists c_1\in[a,b],\exists c_2\in[a,b]\) tq $$\forall x\in[a,b],f(c_1)\leqslant f(x)\leqslant f(c_2)$$
Théorème fondamental sur les fonctions continues :

• \(f\) est une fonction réelle définie sur \([a,b]\) (avec \(a,b\) finis)
• \(f\) est continue

$$\Huge\implies$$

• \(f\) est bornée
• \(f\) atteint ses bornes $$\exists c_1,c_2\in[a,b],\forall x\in[a,b],\qquad f(c_1)\leqslant f(x)\leqslant f(c_2)$$

Plan démo:
1:
1i:
2:
END

Démonstration : ^[$$\beginalign&f\text bornée\iff f\text majorée et f\text minorée\\ \\ &\textmontrons que f\text est majorée :\\ &\exists M\in\Bbb R\text tq \forall x\in[a,b],f(x)\leqslant M\\ &\textpar l'absurde, supposons que f\text n'est pas majorée :\\ &\forall M\in\Bbb R,\exists x\in[a,b],f(x)>M\\ &\forall n\in\Bbb N,\exists xn\in[a,b],f(xn)>n\\ &xn\in[a,b],\text donc xn\text est bornée\\ &\textd'après le théorème de Bolzano-Weiestreass,\\ &\exists \varphi\in\Bbb N\to\Bbb N\text tq \varphi\text est strictement croissante tq\\ &x\varphi(n)\undersetn\to+\infty\longrightarrow\zeta\text où \zeta\in[a,b]\\ &\textcomme f\text est continue sur [a,b],\\ &\textla caractérisation séquentielle de la limite implique que :\\ &f(x\varphi(n))\undersetn\to+\infty\longrightarrow f(\zeta)\\ &\textde plus, f(x\varphi(n))>\varphi(n)\geqslant n\undersetn\to+\infty\longrightarrow+\infty\\ &\implies f(x\varphi(n))\undersetn\to+\infty\longrightarrow+\infty,\textce qui est absurde\\ \\ &f\text continue sur [a,b]\implies -f\text majorée\implies f\text minorée\\ &\text(d'après la première étape de cette démonstration)\\ &\implies f\text bornée\\ \\ &\textmontrons que f\text atteint ses bornes :\\ &\textsoit E=\f(x):x\in[a,b]\subset\Bbb R\\\ &E\neq\varnothing\;(\textcar f(a)\in E)\\ &E\text borné car f\text bornée\\ &\textdonc M=\sup E\text et m=\inf E\text existent dans \Bbb R\\ &\exists(yn)n\in\Bbb N,yn\in E,\exists(zn)n\in\Bbb N,zn\in E\text tq :\\ &yn\undersetn\to+\infty\longrightarrow M\text et zn\undersetn\to+\infty\longrightarrow m\\ &yn\in E\implies \exists xn\in[a,b]\text tq yn=f(xn)\\ &zn\in E\implies \exists \zetan\in[a,b]\text tq zn=f(\zetan)\\ &\textd'après le théorème de Bolzano-Weiestrass, \\ &\exists\varphi:\Bbb N\to\Bbb N\text strictement croissante,\exists \psi:\Bbb N\to\Bbb N\\ &x\varphi(n)\undersetn\to+\infty\longrightarrow c1\in[a,b]\\ &\zeta\psi(n)\undersetn\to+\infty\longrightarrow c2\in[a,b]\\ &\textde plus, comme f\text est continue sur [a,b],\\ &f(x\varphi(n))\undersetn\to+\infty\longrightarrow f(c1)\text et z\psi(n)=f(\zeta\psi(n))\undersetn\to+\infty\longrightarrow f(c2)\\ &\textor (y\varphi(n))n\in\Bbb N\text est une sous-suite de (yn)\text qui converge vers M\\ &\textet donc y\varphi(n)\undersetn\to+\infty\longrightarrow M\\ &\textpar unicité de la limite,M=f(c1)\\ &\textde même, m=f(c2)\\ &\textde plus, \forall x\in[a,b],m=f(c2)\leqslant f(x)\leqslant M=f(c1)
\endalign$$]
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème de la limite monotone
Théorème de la bijection